美國齒顎矯正學期刊 American Journal of ORTHODONTICS
於西元1915年出版 第81卷，第5期，1982年5月
版權所有 © 1982 The C. V. Mosby Company
完美比例（Divine Proportion）及費布那西級數（Fibonacci series）的生物學意義
Robert M. Ricketts, D.D.S.
Pacific Palisades, Calif.
本文章說明基本數學和幾何學原理，在經常涉及齒顎矯正學及牙科學之正常結構形態學中的應用。在美學應用方面，已有研究顯示與黃金分割法（Golden Section）協調一致的吸引力比例，是在人類心智的邊緣系統層級發揮功能。此比例為 1.618，而其幾何倒數為 0.618。在數學上獨一無二，且玄妙的費布那西數字，精準地表達出相同的比例。而我們真實世界中的患者，亦出現與這些幾何和數學關係有關的問題。在研究中，測量了正常咬合受試者的牙齒模型、商業模特兒的臉部照片，以及在測量側面與前面頭部影片中發現的狀況。在分析美麗攝影模特兒的變化，加上具有理想咬合之患者的電腦化複合體後，發現了數個關鍵的相關性。該調查對牙科學的所有應用層面貢獻良多，特別是在齒顎矯正學及正顎手術方面。正常臉部及牙齒咬合具有莊嚴的美。本研究強烈建議，美學（Esthetics）確實可以科學化，而不是如過去只訴諸於主觀感知。
關鍵字：黃金分割法（Golden Section） (1.618-0.618)、Phi、黃金矩形（Golden Rectangle）、對數螺線（Logarithmic Spiral）、Thompson 生長規律（Thompson’s Law of Growth）
從進化發展立場來看，功能總是在形式之前參考文獻 1。間質細胞是依據其局部物理環境發揮作用，而產生特定類型的組織，因為結締組織細胞是在微小、繩狀纖維中精心製作，形成通過細胞壁的材料，並產生保護細胞壁免於承受周圍媒介的力量參考文獻 2。此「負向回饋」是一種藉由神經系統之物理及化學特性，持續監測該系統，產生身體結構型態學的過程。
在生長期間會快速發生細胞分裂，但其生長過程不會在生物達到成熟時終止。此外，在發育期間，必須為了性能，積蓄一個細胞庫，而不是進行複製。因此，有絲分裂的特定調節或控制是有效的。成人之衰弱細胞的傷害修復及替換，也是有絲分裂的功能以及生長的現象參考文獻 3。
此項監測及回饋安排在功能上，產生了神奇的經濟結構。生物學家及形態學家是以「規律」（Laws）來進行討論。 首先是「能量守恆規律」（Law of Conservation of Energy），解釋為使用最小努力獲得最大性能。其次，他們提到「組織守恆規律」（Llaw of Conservation of Tissue）， 解釋為代表為了執行需要之任務，而採用的最小材料量。第三個規律較少進行討論，是前兩項規律的組合。這是一項可以提供極度效率的安排。效率對於個體存活而言是必要的。
0002-9416/82/050351 + 20S02.00/0 © 1982 The C. V. Mosby Co
費布那西級數（FIBONACCI SERIES）
效率最高者才能在天擇中生存下來。在原始狀態下的長期競爭，促進了物理及化學世界的最佳應用。生物的所有功能單位整合，最後都涉及離子電力及磁力。此聯合過程與基礎細胞層級有關，且組織最終是在本身空間的特定數學和幾何規律下活動參考文獻 4。
廢用的骨骼變成骨質疏鬆，未使用的肌肉經歷萎縮，而使用的皮膚則產生老繭。腦部會對於使用，甚至是在積極思考者中擴大神經元的發展產生回應。為了發揮能量和材料的最大功能及盡可能地減少浪費，身體會在美、順序、結構和經濟方面達到平衡狀態，且持續使用迴路、循環及閘道系統進行監測。
特定潛在的物理規律會發揮作用，以產生最有效率的安排及維生方式。生長如何發生，以確保改變大小時不會改變形狀（幾何生長）？促使持續異速生長的潛在因子是什麼？控制如何存在，以防止相關功能部位變得不協調？重度發育不良（Dysplasia）、功能異常（Dysfunction）以及病理學（Pathology）的發生原因？美學因素以及構成醜陋災難的原因是什麼？
圖 1。 求和級數。請注意，最後一個數是前兩項的總和，第五個相加除以第四個數已達到數字 1.66。此情形在重複十五次之後，數字 1.618 就不會再改變。
美學（ESTHETICS）
美學是在研究美，並加上倫理、邏輯、政治及形上學的基礎哲學分支。據說情人眼裡出西施，但是，在激發感官達到愉悅的情緒層級前，未必是真的美。此感知層級不是位於腦部的認知部分（新皮質），卻被認為是位在腦部的潛意識或原始部位，稱為爬蟲動物腦（Reptilian Complex）或邊緣系統（Limbic System）的位置。邊緣系統被認為含有直覺本能。其被認為具有持續反射的能力，因此在美和藝術的欣賞中存有訓練及先前接觸的因子參考文獻 5。但是，透過本能直覺選擇美的能力以及有利於組織和能量經濟的自然規律，在美的感知和效率之間可能存有自然的關聯性。人類的心智會受到準確度吸引，因此得以在生物學的物種中生存和進化。這可能是與人類大腦及思考和推理能力的發展一起發生。
正常的人類臉部，可能是動物界中最完美的結構。本文章之目的是從數學和幾何層面探討結構、和諧、平衡及比例的主題，以及與生長及形式的生物學的關聯性。
費布那西數字（FIBONACCI NUMBERS）
在 1202 年，Filius Bonacci（別名 Leonardo of Pisa）發表了他的著作計算之書（Liber Abaci），將羅馬數字的世界改變為印度-阿拉伯數字系統。他提出該數字可以在兔子的繁殖中獲得證實。由於每一個月都會有一隻兔子成熟到具有生日能力，所以每一對兔子會加到總和內，因此數字的增加不是以一般的幾何級數方式發生。到最後，如同是在級數中將最後兩個數字相加，而發生增加的情形。因此，從 0 和 1 開始，總和是 1，將最後兩個數字相加，總和是 2。二和一的總和是 3、2 和 3 的總和為5，因此數字增加依序為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 等。當達到此層級時，每一個新的相加正好為先前數字的 1.618 倍，且此相加的比例會持續到無限（圖 1）。費布那西數字已由數學家進行廣泛研究，以及學者已針對此獨一無二的數字關係形成各種小組和社團。請記住，這是應用於生物學。
黃金分割法（GOLDEN SECTION）
所謂的黃金分割法早在埃及時代已經發現，且在希臘的藝術和建築學中廣受歡迎。其的基礎比例概念早在許多人的孩童時期已深植腦中。在何處可以分割一條線，當較大的部分達到完整線時，較小部分與較大部分相比之下形成了一個比例。依據幾何學原理很容易做到此方法。將該線平分，並從一端豎起垂直線，即可建構一個 90 度角，連接二端則可形成一個三角形。在斜邊標記原始平分的尺寸，並以剩餘距離的弧形向下旋轉至原始線，即可建立一個「黃金分割」（圖 2）。
PHI 的特性
黃金分割似乎具有某種神奇、獨一無二的特性。其為一種性質，因為某種原因而會吸引注意力，並在邊緣系統中被記錄為美、和諧及平衡。靜態對稱包含雙側的絕對均等平衡，且被視為單調或無聊。黃金分割具有一種會刺激觀看者的特殊性質，且此數值被稱為「動態對稱」（Dynamic Symmetry），代表形容動作和連續體參考文獻 6。此關係之範例可以在整個自然界中找到，且總是與人類的藝術、滿足、平靜和愉快心情相關。藝術家也總是受到自然之美吸引，並體現在藝術作品上。
實際測量該分割線之劃分會導致更長的分割區域，且是較短線長度的 1.618 倍。較短線是較長線長度的 0.618倍（圖 3）。此項驚人的數字是數學中唯一一個減去數字一 (1.0) 時，會產生本身的幾何倒數（Reciprocal）的數字。奇怪的是，此性質與費布那西量子性跳躍（Fibonacci Quantum Jump）完全相同！由於知名的希臘雕刻家菲迪亞斯（Phidias）大量使用黃金比例，因此，黃金比例是使用其名字第一部分的希臘字母命名為phi。符號 phi 相當常見，使用程度和 pi 相當，高中生都知道是用於分析圓形和球形。Phi 與美的許多層面有關，在西元 1600 年左右的克卜勒（Kepler）將其稱為「完美比例」（Divine Proportion）。 此為費布那西（Fibonacci）與黃金分割的關係。在人類才智的最終魅力中，聲波測量是對應至耳朵接收到和弦中的 phi 值。
圖 2。達到黃金分割的幾何學方法。請注意，上列AB連線為平分，以及該距離是垂直 B，而形成了AD新連線。AD 的平分，依序向下落到起始縣，產生黃金分割，為AB連線總長的 0.618。AC 依序是 CB 長度的 1.618 倍。
圖 3。三個測量的各自長度為 CB、AC 及 AV。以下：如果將長度 CB 設為 1，AC 為該長度的 1.618 倍，如果將較長的長度設為 1，則較短的長度為 0.618，因此1.618 稱為 phi，並賦予希臘符號 ϕ。
圖 4。黃金矩形及其建構方法。平分正方形的AB連線，並從該連線到AB的平行線在 F旋轉為弧形，即可建構出黃金矩形。將此矩形的高設為 1，則底為 1.618。此特定矩形會讓眼睛及感官感覺愉悅。
圖 5。五邊形分析。當五邊形的兩個角連接，並與另外二個角交叉時，線是以黃金分割法進行分割。並且能進一步注意到，如重複以上步驟，就能再次於對側將原始 AB連線分割為黃金分割，以使區域 PQ 成為全等的區域，並可在幾何倒數上做為兩端的黃金分割。兩個連接將會形成 36°、72°、72°的三角形，稱為黃金三角形。
黃金矩形（GOLDEN RECTANGLE）
如矩形的高是以比例 1.0 構成，底為高的 1.618 倍，則稱為黃金矩形（圖 4）。帕德嫩神廟（Parthenon）即是以此比例進行建造，而已成為世界矚目焦點達二千多年。正方形的畫框很罕見。眾所周知，黃金矩形的信紙、筆記本以及 3 X 5 吋的卡片最受歡迎，例如，看看您手上的信用卡。黃金分割甚至進入了商業設計中，並成為藝術的一部分，若不是直覺、特別是本能直覺，則可能是來自於人類最初在洞穴牆壁上畫出的形狀。其具有和諧和與平衡的感覺，能使感官產生舒適和愉悅。
五邊形分析
五角星也是醒目的符號。此星形的基礎為五角形（圖 5），如果使用一條線連接五角形的兩個角，再連接另外兩個角，並將此線交叉時，每一條線將會分割成黃金分割，亦即以 1.0 和 1.618 的長度為比例。當第三條線連接兩個角時，其中的一條交叉線將會從兩端進行分割，以幾何倒數的方法劃分。將會在中間產生較小的分割區域，即是相對於兩端常見的完美比例，且是與其他部分之間平衡的重疊「全等區域」（Area of Congruence）。
黃金三角形
進一步分析相交的五邊形，顯示該分割區域的長度與側邊相同，且由該結構形成一個獨一無二的三角形。
在數學中，phi 的希臘符號為 ϕ，以及 phi 關係的級數稱為疊加級數（Additive Series）參考文獻 7。從以 1.0 表示的數值開始，ϕ' 是 0.618、ϕ'2 是 0.3819 以及 ϕ'3 是 0.2360，持續到更小的維數。更大的數字是 ϕ2 為 2.6189、ϕ3 為 4.2358，以及 ϕ4 為 6.853。數值 1.618 加上 0.618 等於 2.236，為 5 的平方根。數學公式為：
針對 X 解題，產生
（圖 6）。這些數字形成一個自然進展，每一個數值都是 phi 比例的倍數5。
以幾何學測量，黃金三角形是一個72°、72°、36° 的等腰三角形，且具有數個獨一無二的特性。黃金三角形可以輕易地從黃金分割進行建構（圖 7）。當黃金分割線的較長分割區域，是從短分割區域的每一個末端進行標記時，會找到一個點與較短分割區域的每一個末端連接，即會形成黃金三角形。
如果將其中一個底部角度平分 (72° = 36° + 36°)，該平分將會與對側相交，且會將該側分割成黃金分割（圖 8）。產生的區域同樣是相互構成黃金比例。因此，以每一個 36 度角增加 36 度的方式，可以建構出無限系列的三角形參考文獻 8。當每一個三角形的底部都以平順的切線連接至每一個後續的底部時，將會連接形成一個對數螺線（圖 9）。
圖 6。符號 phi 被賦予 1.618。如果將原有單位設為 1，則 0.618 值是 ϕ1，0.3819 值是 ϕ2，以及 0.236 值是 ϕ3。1.618 是 phi 的值，ϕ2 是 2.618，且在此方式中的倍數形成了一個進展級數（Progressive Series）。
圖 8。在針對 72 度角進行一系列平分時，可以形成一系列完全相同的三角形。
圖 9。當使用一個平滑曲線連接三角形的三個角時，可以建構出一個等角線或對數螺線。
圖 10。長久以來，對數螺線皆被視為自然界中的美麗結構，例如以「螺旋鸚鵡螺」（spira nautilus）的橫斷面進行圖例說明。
圖 11。左側可以看到花朵的示意圖，請注意，五邊形的形狀及從中心開展而出的型態。右側是相同類型的幾何型態，不過是在貝殼中。
對數螺線及黃金分割的遺傳影響（GENETIC IMPLICATIONS）
對數螺線是在最簡單的原始生命型態：「蝸牛」中發現參考文獻 9。長久以來，鸚鵡螺常被用於裝飾及娛樂用途（圖 10）。在向日葵中也能找到相同的形態，具有兩個相反的螺線，使向日葵變得更迷人。尋找三葉草、五葉雛菊以及許多有八片或十三片花瓣的花朵，是非常有趣的事，也說明自然界中存在有趣的費布那西數字（圖 11）。
更有趣的是動物種類的手指和腳趾比例，比例是 1、2、3 和 5。人類一般有五隻手指和腳趾也是具有特定意義，但是，令人更感興趣的是在特定跨度中，手指骨和手指的關係。
透過建構「黃金比例分割器」，總是會以完全相同的比例發生增加的情形（圖 12）。使用黃金比例分割器進行檢查時，可以觀察到每一個指骨與下一個指骨是呈一個 ϕ 關係，以及每兩個指骨與手指的最後兩個區段是呈現一個 ϕ 關係（圖 13）。事實上，已有人以此方次測量了人體7，總身高可以分割成黃金比例，且結果是在肚臍（圖 14）。上述的所有比例關係，可以讓人思考與基本細胞現象之間可能的連結。
使用黃金比例的臉部分析
記住前述的生物學事實，使用選擇性 ϕ 關係檢查臉部是理所當然的事。使用計算機，觀察數張男女模特兒的照片，並形成與臉部組成比例有關的假設。
圖 12。取得兩個內側尺寸的 phi 關係，即可建構黃金比例分割器，當擴展時，將會持續保持 phi 關係。
圖 13。將黃金比例分割器應用於手部時，可以看到在全部五隻手指中，每一隻手指的每一個指骨與下一個指骨皆呈現出黃金比例。
圖 14。頭頂到下巴相對於(T-M) 兩側臉頰，形成一個黃金矩形。此矩形的高度與從肚臍到恥骨三角的距離非常類似 (UP)。 肚臍 (U) 是從頭頂 (T) 到腳趾 (F)的黃金比例位置。 肩膀 (S) 及展開的手臂 (H) 與總身高 (TF) 呈現黃金比例。 肩膀到肚臍至頭頂也形成另一個黃金矩形。
圖 15。本研究所使用的點。TRI = 髮際中點（Trichion），TS = 在眉毛高度 (EB) 之耳朵上方太陽穴軟組織的頭部寬度；在眼眶內部邊界發現的淚點（Dacryon）= DA；LC = 外側眼角（Lateral Canthus）；ZP = 顴骨突出（Zygomatic Prominence）；AL = 鼻翼邊緣（Alar Rim）；LN = 鼻翼外緣；CH = 在嘴角口角點（Point Cheilion）；ST = 嘴唇之間的中斷或兩唇中點（Stomion）；ME = 軟組織頦下點（Menton）。
圖 16。取鼻子寬度設為 1，嘴巴寬度為 1.618 或 phi。下一個進展的 phi，是在外側眼角的眼睛外側寬度，為 ϕ2，ϕ3 是在太陽穴軟組織的頭部寬度。ϕ1 是兩眼之間的淚點間（Interdacryon）寬度。
材料
為了驗證假設，從雜誌廣告中隨機挑選了十張正面照片。由於是研究比例，因此尺寸大小沒有差別。為了包含不同族裔，而選擇七位白人、兩位似乎是東方人，以及一位看起來是黑人族裔。涵蓋各種臉型，以出色美貌選出的廣告產品為範例。
方法及發現
寬度關係。 在假設中測量的點，請參見圖 15。針對額狀橫切面分析選擇的點，如下所示：LN = 鼻翼外緣；CH = 口角點（Chilion），嘴角的點；LC = 外側眼角；NB = 鼻樑基部的點；以及 TS = 在眉毛高度 (EB) 太陽穴外側邊界的點。
此發現驗證了假設（請參見表 I）。發現進展的 phi 關係，黃金比例在級數和「動態」關係中具有四個部分（圖 16）。從鼻子開始，嘴巴是黃金比例，依序為眼睛和嘴巴是呈現黃金比例，使眼睛 ϕ2 到鼻子。太陽穴的頭部寬度也與眼睛寬度呈黃金比例，使頭部 ϕ3 到鼻子。
( 表I ) 完美的比例研究，額狀橫切面尺寸（N 10 雜誌的模特兒照片）
從 LN-LN 預測 TS-TS = 98.25% 或 1.75% 誤差（針對平均值）
（以及這些照片大約有 80% 為真實）。
從 LN-LN 預測 CH-CH = 98.80%。
從 LN-LN 預測 LC-LC = 98.75%。
高度關係
在傳統的頭部測量中，有使用鼻根點嘗試尋找垂直關係，但立即失敗。在臉部美學方面，需要將臉部（包括前額及全臉）都納入考量，因此，以前額頂點開始的研究獲得了成果。此點是在顱骨垂直面和水平面相交的點進行選擇，更精準來說，是在年輕人之髮際線的點，或在抬高眉毛時產生皺紋之處的起始點。搜尋文獻的結果顯示，這個點是髮際中點（Trichion），或在顱頂腱膜（Aponeurosis of the Skullcap）之三角形位置的起始點（圖 15）。Maj 已針對義大利受試者進行標示為點 Fr 之相似點的研究參考文獻 10。垂直分析的點，如下所示：髮際中點（Trichion）= 在臉部及顱骨筋膜連接處之前額頂端的點；EB = 在眉毛上方曲線下之下方邊界的點；LC = 外側眼角；AL = 鼻翼曲線的上方邊界；St = 選擇在與口角點（Chilion，CH）等高的兩唇中點（Stomion）；M = 軟組織頦下點－軟組織下巴之下方邊界。
這些發現也證實了提出的假設。發現了三個幾何倒數的黃金分割，並發現有三個全等區域。圖 17 說明這些關係，表 II 為資料分析。
從全臉高度取得的第一個黃金比例為前額到眼睛，以數值 1.0 或圖 17 中的 4 表示，以及眼睛到頦下點(2)，以 1.618 或 ϕ 表示。 從頦下點朝上的反向測量，顯示到鼻翼為 1.0，5 對於前額到鼻子也是黃金比例(3)。 其使鼻子的長度（從眼睛到鼻翼）變成平衡或全等區域。可以為齒顎矯正醫師或正顎、整形外科醫師提供一個入門的參照基準。
發現的第二組完美比例，是從眼睛到下巴邊界或軟組織頦下點。從眼睛到下巴往下，鼻翼是以 1.0 表示 (8)，以及鼻子到下巴為 1.618 或 ϕ(5)。 相反地，嘴巴或兩唇中點（Stomion）到頦下點為 1.0 (7.)，而嘴巴到眼睛是以 1.618 或 ϕ(6) 表示。因此，鼻子和嘴巴間的距離，或實際上是上嘴唇的長度，代表了這一組測量中的平衡或全等區域。
圖 17。這些測量的說明，請參見文章內文。（由 Merle Norman Cosmetics 特許使用。模特兒：Becky Storey Adele）
( 表 II )完美比例研究的數值（N 10 照片模特兒
5 點： 髮際中點（Trichion）、外側眼角、鼻翼邊緣、口角點（Chilion）（嘴唇楔隙 [embrasure]）、頦下點。
同樣地，外科醫師會發現以此距離做為參考很實用，且齒顎矯正醫師也可以使用此距離規劃骨科方面（Orthopedically）的治療。
第三組測量是在分析眼睛－鼻子－嘴唇－下巴的比例時發現。將從鼻翼到兩唇中點的上嘴唇長度（圖 17 的測量 9）設定為值 1.0，將眼睛到鼻子設定為 ϕ (8) 以及嘴巴到下巴設定為 ϕ (7)。
因此，這些臉部的三個數值大致均等，分別是前額到眼睛、眼睛到嘴巴，以及鼻子到下巴（測量 4、5 和 6）。
討論
在最終分析中，證實正面影像中的美麗臉部會自然進展！臉部有了韻律！Ghyka7 曾經說過：「韻律是由由均勻遞推（Uniform Recurrence）之比例的動態動作而產生。」 韻律（Rhythm）一詞是來自於「停頓－數」（Rhythmos-arithmos）以及「Rhein」，意思為流動。韻律可以在時間、維度（Dimension）、音樂和詩中看到，且會使眼耳及精神感到愉悅。美麗的人類臉部具有韻律，包括橫向和垂直與寬度和高度。基礎寬度 ϕ 單位是在鼻翼部位，其是有節奏地或溫文地流動到嘴巴、到眼睛，至全臉寬度。
在垂直方面（或臉部高度），進展或韻律是從鼻翼的上嘴唇長度開始，並向下流動到下巴和向上流動到眼睛。此進展涉及鼻子－下巴、嘴巴－眼睛，以及眼睛到前額的尺寸，在完美的臉部中，這三個尺寸都很相似。隨著下一個進展，該流動會持續延伸至下巴－眼睛以及前額－鼻子尺寸。整個頭部到頭部頂端可能會發現一個流動，從眼睛－下巴到眼睛－頭部－頭頂（到前囪）。當一切都很和諧（或協調）時，韻律會使感官愉悅！
此韻律是列載於表 II 的資料中。指定一個數值，ϕ 關係幾乎是預測為測量錯誤。在本研究中，唯一的問題是很難在商業照片中找到髮際中點（Trichion）。
側面圖的臉部深度分析
由於髮型以及僅能取得前額畫面，在針對臉部深度的側面圖中，測量先前研究的樣本變成不可能的事。因此，我們選擇一位已針對咬合進行齒顎矯正的成人女性患者。顯而易見的是，針對正面分析採用垂直點非常實用，但是，需要有一個深度單位，以確立觀察內容的結構，這是在鼻尖到耳垂基部的發現。 以 Frankfort 平面為方向，出現了三個黃金矩形，相同的髮際中點－眼睛、眼睛－嘴巴以及鼻子－下巴，發現重疊的全等區域，即鼻子－嘴唇區域。此外，外側眼角亦將矩形分割成更小的黃金矩形，請參見圖 18。
此項分析顯示出，非常長的鼻子或非常短的鼻子無法打造成絕對美麗的原因，儘管不平凡的鼻子可能會為臉部帶來所謂的「特點」，但更解釋了許多人在美學上對於鼻子感到如此不滿意的原因。
臉頰位置及眼睛韻律
繼續進一步調查美麗臉部的斜視圖，針對臉頰突出（或在顴骨的顴骨突起部 [malar eminence]）位置的假設產生出一種形態。當選取眉毛弧形下方邊界的點，以及外側眼角（在眼瞼的界線）時，將會與鼻翼形成一個黃金矩形（圖 19）。臉頰突出也在黃金比例中體現，因此，將顴骨突出（Zygomatic prominence，Zp）到鼻翼邊緣高度設為 1.0，則眉毛到 Zp 為 ϕ。這不僅能協助整形外科醫師找出豐頰的位置（通常使用 Proplast），且可以協助找到需要進行整形重建或眉毛美容的位置（假設眼睛及鼻子和臉頰皆正常）。
最後，眼睛寬度的平衡值已進入研究階段。眼距過寬（Hypertelorism）與眼距過窄（Hypotelorism）是先天畸形，而眼睛美容就是解決此問題的偉大藝術。將單眼寬度（外側眼角到眼眶內側緣的淚點）單位指定為 1.0，將能發現增加鼻梁至另一眼的寬度，可以獲得一個 ϕ 關係。因此，依據臉部的鼻子寬度，兩眼之間的鼻樑是代表一個全等區域或重疊黃金分割的區域。
圖 18。美麗女性患者進行治療後的追蹤。使用三個黃金矩形進行分解：從髮際中點到眼睛、眼睛到嘴巴，以及鼻子到下巴。重疊區域是從鼻子到嘴巴的距離。以此方法進行分析，外側眼角相對於鼻子長度以及耳垂也是呈黃金比例。
圖 19。使臉頰突出的方法。採用眉毛到鼻子，臉頰是位在 1.618 關係。依序以相似的方法分解眼睛，使外側眼角相對於眉毛到上述線段是呈現黃金比例。以下可以看到從兩個眉毛到鼻翼是形成黃金矩形，且可以協助找出臉頰突出的位置。
人類齒列的完美比例
依據前述發現，在齒列中尋找完美比例是一件理所當然的事，可從數個來源取得資料。我收集將進行個人測量之 30 位理想的正常受試者，並已測量了弓形尺寸。
取得 Gardner 參考文獻 12 針對 104 位穩定、長期治療之患者的研究發現。資料取自標準牙科解剖文字材料的 G. V. Black 表格。最後，將Hamilton於Dental Corporation of America 發布的牙齒質量圖相關數值，做為參考基準。因此，不僅分析了牙齒的大小，同時分析了「按比例弓形形式」（Arch form in perspective）資料。
這些研究立即出現一道曙光。下排門齒變成基礎單位，而上排門齒和下排門齒的寬度呈黃金比例（圖 20）。以上排和下排正中門齒為一個單位，ϕ 關係是一個動態對稱的標記。將兩顆上排門齒和四顆上排門齒進行比較，即可看到進展，不是呈現筆直線，但似乎是在弓形形式中弧形和弦的中心（圖 21）。從圖表取得資料，因為也是從前方觀看，下一個進展是上排第一前臼齒的寬度（圖 20）。因此，在自然正常的理想咬合中可以看到韻律，採用下排門齒做為基礎單位，以及 ϕ 為上排正中門齒，ϕ2 為側門齒寬度，以及 ϕ3 為前臼齒。可以想像當第一前臼齒區域有缺牙及弓形崩潰時，美學及美觀產生甚麼問題。
完美比例的第二個級數是在牙齒中發現。從以全部四顆下排門齒的寬度（橫越弓形）做為數值 1.0 開始，在上排犬齒寬度的尖端發現 ϕ 關係（圖 22）。四顆下排門齒的 ϕ2 關係，則是在上排第二臼齒的寬度發現。因此，最美的狀態是上排臼齒的臼齒寬度，為四顆下排門齒弧形寬度的 2.618 倍。所以在開朗的微笑中，從下排到上排弓形都十分和諧，以及在上排弓形內也很和諧。
從下排犬齒的末端層面可以看到第三個黃金比例。以此項測量為基礎，顯示出在近心咬頭（Mesial Cusps）的下排第一臼齒是呈現 ϕ 關係。因此，正常人類齒列是代表和諧的一致行動－無庸置疑是在潛意識層面自然選擇的一個因子。
圖 20。牙齒大小的研究表格顯示，下排正中門齒的寬度與上排門齒的寬度呈黃金比例。
圖 21。從圖 20可看到已取得一個進展級數。從下排及正中門齒到上排及正中門齒，再到上排側門齒末端層面的線橫越了弓形，然後接觸到上排第一前臼齒的寬度，而形成一個進展的黃金比例級數。
圖 22。另一個進展級數。四顆下排門齒的寬度和上排犬齒呈黃金比例，再依序與上排第二臼齒的寬度呈黃金比例。從下排犬齒的末端層面到下排第一臼齒的口溝（Buccal groove），則可觀察到另一個關係。
齒列與臉部完美關係的關聯性
所有雜誌都會使用微笑的臉部來描繪使用廣告產品的幸福感。在研究中使用了十張照片，測試可能的關聯性。從微笑期間之鼻子外側邊緣落下的垂直線，發現鼻子寬度幾乎始終與犬齒尖端的上排犬齒間寬度相同（圖 23）。但在開朗的微笑中，鼻翼會稍微向外牽引。如果屬實（且十位患者尚無法證實一套完整的理論），則四顆下排門齒會形成基礎單位 1.0，其中 ϕ 關係持續進展至鼻子到嘴巴 ϕ2，到眼睛 ϕ3 以及頭部 ϕ2。
下排門齒寬度將是眼睛寬度的 0.2360倍。從來沒人想過上排犬齒間寬度與眼睛外側眼角之間的距離有關（0.3819）。從來沒人想過任何人都可以測量的眼睛寬度，可用於判斷四顆下排門齒之切削和放置的可能指標。從來沒人相信眼睛的寬度可以協助判斷是否需要移除下排門齒。
或從來沒人相信從眼眶能以任何方式預測與弓形擴展的指標。
頭部測量矩陣的分析
廣泛的電腦研究以及臨床分析，皆持續指向使用特定的點和平面做為參考基準，不僅是為了方便使用，且具有生物學意義。在軟組織臉部和硬組織牙齒具有所有的黃金比例關聯性之後，下一個問題是可能的骨骼和牙齒關係。
截至目前為止，我都是使用以擴展或收縮方式建構的「黃金比例卡尺」（Golden Calipers），保持黃金分割關係8。因此，可以輕鬆地開始探索從正常咬合樣本建構的複合體。我們已經確立電腦程式的正常複合體。此外，在 1979 年有一份南美祕魯三十位具有理想正常三十二顆牙齒，無族裔混合的成人樣本，寄送給 Maria Castro 博士進行分析。甚至在我的檢查經驗中，這些樣本可能是最迷人美麗的理想咬合範例。我進行了所有的詳細追蹤，並由 Rocky Mountain Data Systems 的技術工程師進行數位化處理。結果是顯示在圖 24 的複合體。迄今為止，已經發現八個完美比例，以及似乎可以與其它三個用於比較的正常複合體匹配。
需注意的是，做為單位 1.0 的大單位，將會顯示出較小單位為原始尺寸長度的0.618 或61.8%。其仍是屬於黃金比例關係，但被稱為一個負值。先說明較長的一側可能比較方便。
圖 23。 使用當前雜誌的影印本。在九位樣本中，從鼻翼垂直畫出一直線。請注意，從鼻翼到犬齒尖端之間存有強大的關係。在微笑時，鼻翼會稍微張開。
發現結果如下所示：
- 主體（Corpus）軸向長度 ϕ 到髁狀突（Condyle）軸向長度（到髁狀突尖端）（圖 25）。
- 顱前窩（Anterior Cranial Fossa）長度 SN 到顱後窩（Posterior Cranial Fossa）長度 S Ba（圖 26）。
- 基底（Basal）或顱前底（Cranial Anterior Base）長度（cc 到 NO ϕ 到顱中 [cranial center] 到關節骨 [ar]）（圖 26）。
- 硬顎長度 ANS-PNS ϕ 到鼻咽深度（圖 27），以及點 A 到 PNS 到髁狀突頸（condyle neck）的後緣。
- Frankfort 平面的前長度（Pt V 到眼眶最下點 [orbitale]）ϕ 到 Pt V 到臼窩（Glenoid Fossa）(GL)（圖 27）。
- 點 A 垂直高度到 Pm ϕ 到 A 到 Frankfort 平面（圖 28）。
- 門齒管的上顎到頦下點 ϕ 到眼角（圖 28）。
- 下排門齒尖端高度，從 Pm ϕ 到門齒尖端距離到點 A（圖 28）。
圖 24。在 Ricketts 匯總分析中，是由一個三十位祕魯國民的複合體顯示出此種關係。這些項目的分析，將列載於圖 25、26 和 27中。
圖 25。 主體軸（Corpus Axis，XiPm）和髁狀突軸（Condylar Axis，XiCo）之間的黃金比例關係，使下顎骨擁有美麗、令人愉悅的結構。
圖 26。兩個黃金比例關係－SN 到 SBA 以及 CCN 到 CC 關節骨。
圖 27。 從眼眶到翼狀垂直的距離，以及翼狀垂直到臼窩（Glenoid Fossae）頂端的距離，可以看到其他黃金比例關係。以下將可看到 ANS-PS 到下顎骨後緣，另一個關係是 A 到下顎骨前緣到咽部輪廓。
在前額正面頭顱測量視野的完美比例
前額比例是以 Foundation for Orthodontic Research收集八十二位具正常咬合之成人樣本的電腦複合體進行判斷。橫向尺寸的寬度將適用於牙齒，除前後位暴露中距離影片中，在較遠之結構中大幅擴大的部分（圖 29）。在上方、中間及下方臉部可以找到特定的黃金比例關係。
在上方臉部，從位於顴額縫合（Zygomatofrontal Suture）眼眶外側邊界的點 Z 到眼眶內側緣的距離（或在淚點的點），是與淚點間距離呈黃金比例。進而使鼻樑變成兩個眼眶之間的全等區域（圖 30）。
在中間臉部位置，梨形孔（在鼻腔的前緣）最寬點之間的距離，於下顎骨寬度之間形成一個全等區域，是位於髁狀突頸（Condyle Neck）和顴骨輪廓的交叉點，稱為 外側關節（Lateral Articulare，Lar）。因此，從鼻子到臉部的每一個側面都可以找到一個 ϕ 關係（圖 30）。
依序從 J 點之間的上頜骨到梨形孔為 ϕ2 或 2.618，使關節間距離為 ϕ3 或鼻子寬度的 4.236 倍。從鼻子的最大寬度 (NC) 可以觀察到黃金矩形，相對於鼻底到顴額縫合（Zygomatofrontal Suture）線，更接近淚點及靠近鼻根點。
在下部臉部，可以發現下排第一臼齒牙冠之頰面之間的寬度與位於角前點的下顎骨寬度呈黃金比例（圖 31）。在垂直方面，再次確認前鼻棘到下排門齒，再到下頜骨頦三角（Trigonum Mentali）或頦隆突（Protuberance Menti）頂端具黃金比例關係。將黃金比例分割器放置在圓孔（Foramen Rotundum）及第一臼齒的追蹤上，可以發現與位於該斜線的下顎骨緣呈 ϕ 關係。
探討黃金比例的臨床應用
任何頭部測量調查人員很快就會發現，所有結構（包括硬組織和軟組織）的大小和形狀都有差異。重要的是為了功能和諧而將個別部分聚集在一起的方式，或涉及發育不良的機制。頭部測量中的各種角度和線性測量，已成為了解齒顎矯正學治療或外科矯正規劃最傑出的指引。
雖然已取得黃金比例關係的發現，但是，仍有另一個方法可以輔助臨床醫師判斷最和諧與平衡的區域，進而決定在美學中可以達到「和諧統一體」（Harmonic Unity）的最佳方法，而在大多數情況下，也與功能統一及效率一致。
最令人開心的是，在側面頭部測量影像中出現Xi 點的生物學證明（圖 25）。在所有被研究的正常下顎骨複合體中，當測量至髁狀突頂端時，主體軸和髁狀突軸是呈現完美比例。
該關係與年齡無關，因此是一個判斷下顎骨發育不良的絕佳預測方法！
在正常複合體中發現的完美比例，指向「動態對稱」（Dynamic Symmetry）方法是診斷結構性顱面發育不良的便利指引。SN 和 SBa 的黃金比例關係，可以做為分析鼻咽和鼻口氣道，以及前顱底和後顱底之比例和上頜骨突出比例的指引。將上述加上上顎長度及鼻咽深度的黃金比例，可增加對於上顎功能之期許和手術規劃的預測。
相當有趣的是，從 cc（顱中點）在顱底點－鼻根點平面具有顯著的 ϕ 關係參考文獻 13-15。從 cc 點可以找到鼻根點和關節骨的黃金比例。在理論上，此項發現可小幅改善顱底的長期預測。
最立即實用的頭部測量比例，是在下巴和牙齒的垂直關係中發現。從真實的 Frankfort 平面，已發現上頜骨的點 A 以及下顎骨的 Pm ，在美麗的正常臉部中始終呈黃金比例。由於在治療前觀察到患者的下巴關係不和諧，因此可以觀察到在治療後已矯正為黃金比例。不僅是單一患者，還有接受治療的複合體皆顯示在二級第一類（Class II, Division 1）案例中，可以使用頸部的 Kloehn 矯正頭盔（Headgear Traction），依照黃金比例進行矯正。
由於在齒顎矯正學中，針對最佳長度進行辯論已持續三十年，最重大之意義在於下排門齒的高度。同時發現其與黃金分割中的點 A 有關。從點 A開始，如果該距離到下排門齒尖端是以 1.0 為單位，則下排門齒的高度比例為 1.618 或 phi。或許將可一勞永逸地解決在下排門齒內縮需求方面的爭執（參見圖 29）！
這些關係也可做為Le Fort 與下顎骨的下巴突出手術程序，以及頦成形術（Genioplasty）的絕佳規劃工具。在撰寫本文章時，已有數位患者依據完美比例判斷產生的處方，接受診斷檢查和手術參考文獻 16。
圖 28。在頭部測量中有三個垂直關係可視為黃金比例。在左邊將可看到 Frankfort 平面到點 A 到 PM的黃金比例結構關係。在中央，將可看到眼睛到鼻底到頦下點的另一個黃金比例關係。但是，最實用的是右側，下排門齒和點 A 到點 PM 的黃金比例。
圖 29。成人複合體是由 Foundation for Orthodontic Research 的八十二位正常患者組成。請注意使用的點：Z = 顴骨額縫合（Zygomatic Frontal Suture）、內側緣；AG = 角前結節（Antegonial Tubercle）；J = 顴骨突（Jugal Process）；PiA = 梨形孔（Periform Aperture）；NC = 鼻腔的最寬部分；AR = 外側關節（Lateral Articulare）；ANS = 前鼻棘（Anterior Nasal Spine）；PM = 下頜骨頦三角（Trigonim Mentali）會聚處的頦隆突（Protuberance Menti）。
圖 30。眼眶到淚點鼻子寬度的黃金比例關係。以下可以看到從梨形孔直至外側關節之距離的黃金比例關係。在顴骨突（jugal process）可以看到 ϕ2 關係，以及在外側關節可以看到 ϕ3 關係。基本上，鼻腔的高度與寬度是形成黃金矩形。
圖 31。 對於成人複合體的 AG 來說，臼齒寬度是呈黃金比例。同時請注意，在側面頭部影片中也可以看到相同的垂直關係。也請注意，從圓孔（Foramen Rotundum）通過下排第一臼齒到下顎骨緣，可以在斜方觀察到黃金比例關係。
新的前額發現
一開始很難發現頭部測量方面的前額比例關係。犬齒寬度和軟組織鼻寬度的關聯性可在微笑中發現，以及在軟組織中鼻子到嘴巴、到眼睛、到頭部的幾何學進展，令人驚嘆。在骨的鼻子寬度也發現了從側面尺寸之中間臉部到外側關節，以及到上頜骨寬度的進展。此外，第一臼齒的牙弓寬度（成人）與三面隆起（trihedral eminences）的基部呈黃金比例，將會成為成人治療規劃中一項重要的決定因素，且顯示出對前額預測的需求。最後，在前額預測中確認下排門齒的垂直位置，並以新方法加上這些研究，指引處理下排臼齒高度及臉部高度。
與先前研究的一致性
我曾經發表極化方格生長有序性的發現（圖 32 及 33）參考文獻 17。針對部分臉部囊袋或功能腔，說明數項大小已變化，而形狀没有變化（異速生長形狀）。在此生長行為方面，除以下來自 D’Arcy Thompson9 的引述內容外，目前沒有看到更好的表示方式：
我們無法想像出比貝殼生長更簡單的規律，在相同不變的比例中持續加寬和加長：這個最簡單的規律是自然趨勢遵循的定律。
貝殼如同其中的生物一樣，大小會持續增長，但是形狀不會改變，且此項生長的重要關鍵是存有持續相對論或形式的持續相似性，以及可能會做為等角螺線的定義基礎。
黃金分割及費布那西數字的原則，似乎是人類臉部此種有序安排及生長的基礎。
正確比例是和諧及臉部韻律的基礎。在韻律與和諧中發現美，且所有部分皆協調一致。
這些發現為當代齒顎矯正學提供了考量因素：不再只是將牙齒配合在一起，而是使整體齒列和顱骨結構的其他部分相互調和（近一個世紀以前，由 Angle 提出的理論）。
必須有完善計畫及控制手段，才能使美麗的臉部發展成異速生長規模（圖 34）。這些關係可能會回歸到基本的數學關係。最具說服力的是，下顎骨是依據對數螺線生長參考文獻 18、19，且該對數螺線是以黃金三角為基礎，依序與黃金分割有關（圖 35）。
由於和諧的完美比例，以及理想臉部中的關係和理想臉部形態，特別是因為幾何倒數區域的數字，或在側面及額向維度的全等區域，經過深思熟慮，或許、只是或許會認為基本有絲分裂和細胞分裂，也是受到費布那西數字中的因子監測！
以自然幾何學進展發生的細胞分裂，會產生絕對及非動態的對稱。此外，如果所有的細胞都是特別針對複製而設計，則不會有其他工作被執行了，因為所有細胞都全力在執行生長任務。針對組織複製或生長的細胞與設計用於執行組織功能職責的細胞，是否有不同之處？
當細胞發展一定不可逆的程度時，就會發生後生論（Epigenesis）。當完成生長時，必須找到替代目的，而保留特定數量的生長細胞，以發揮生長功能。或許成為計畫本身的一部分，也是一項用於最重要之縮減替代儲備的設計，例如海佛烈克極限（Hay flick limit）的說明20。這是老化、衰老或死亡的最終問題嗎？
圖 32。觀察 3、8 及13 歲之正常、生長中的兒童，以及 18 歲的成年男性。3、8 及13 歲的複合體代表兩個性別。請注意，從圓孔附近蝶骨底部的區域開始劇增。
圖。33. 如圖所示，在前額中可以看到半極化現象。請注意，AG 點的向下和向外動作以及 J 點的向外動作。由於臉部的兩個半邊會聚，且每一個半邊將有個別的異速生長（Alometric）形狀，因此無法準確顯示出極化現象。
圖 34。在下顎骨與口囊（Oral Capsule）的向下動作，可以看到異速生長形狀以及基本基因生長。下方描繪是顯示從 Xi 點到鼻間棘和點 PM，檢視口囊的發育以及牙齒的萌發。這些代表持續的關係。
圖 35。依據研究發現，下顎骨為弧形生長，且之後咬合面會隨著 Xi 點升高。此弧形非常符合以完美比例之黃金分割為基礎的對數螺線。
透過此生物學觀點，死亡如同出生一樣，只是生物學過程的一部分，但是，此過程允許維持在一生中的結構形式。或許，癌細胞的瘋狂增殖亦導致複製和工作細胞的比例出現混亂。
生長和形式以及美的關鍵，最終可能是屬於空間、時間和韻律的數學。
人類可能是在演化進程中的結尾。那些有話語權的宗教人士，可能會從人類臉部的壯麗和崇高結構獲得安慰。任何進一步的改善可能僅是群體達到此種美的可能性，而不是在完美形式中產生重大改變。
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